新版 複素解析 (基礎数学)

常に複素解析の歴史に触れながら, 幾何学, 代数学, 解析学の融合を鑑賞することができる. 位相幾何・多様体論・群論・実解析・位相・関数解析とのつながりをかなり意識していてる.例えば, いくつもの位相体と複素数体Ｃとの関連, 複素関数の連続性と正則性の関連を述べるローマンの定理, 平均値の性質と調和関数の性質の関連, 円板でのディリクレの問題, 複素関数の成す線型位相空間の構造の解明, 多様体上の１変数複素関数, これらは新鮮だった.複素積分の章でコーシーの積分定理について仮定を段々と緩めて拡張してゆくのと, 特別な場合ではあるが早い段階で正則性と解析性の同値性まで証明してゆくのは, 読んでいて面白い. 複素平面の開集合の, 単連結性とコーシーの積分定理の同値性, およびその言い換えは, 位相幾何と複素解析のある種の同値性を示していて, 感動した. ホモトピー同値とホモロジー同値の概念には明快な図説がある.ガンマ関数は如何なる代数方程式の解になりえないという注意書き, リーマンのζ関数の(ζ(1−s)をζ(s)で表す)関数等式など, 他の本には無い内容が多く書かれている. 他にも「関数論」らしいものが多い.この本は厚くはないが, 各章では「読み物」として楽しめるように語りかけている.複素数とその偏角と絶対値を図形を使った直観に頼らず定義している点もすぐれている. πの定義は, この本にもあるような, 複素解析的な定義が最も簡単だと思う.数学のどの分野についても, 多少の知識と経験が要るし, 行間は広く証明は難解なものも多く, 複素関数にも慣れていないと読みにくいかもしれない. だから, この本は複素解析を学ぶための本というより, 複素解析を極めるための本とも言えそうである. 複素解析の研究者になりたい方にもおすすめする.或いは, 複素解析の初歩的なことは分かっていて, 自分の専門分野とそれ以外とは複素解析を通じてどう関係しているのか知りたい方には, 入手のしやすさや価格も考えると, この本が最適だと思う.付録には, 念のための, 距離空間論と微分法などの, 予備知識とその拡充もまとめてある. これは小さいけれど独特な論法で面白い.数学の専門書に慣れた人なら, 数学を新たな視点から見直し学び直し新たな発見を得られる「読み物」である.ご参考になれば幸いです。読んでいただきありがとうございました。(2017年1月27日最終推敲)